W poszukiwaniu pewnego stożka

Polecenie i dane

2020-02-03T08:12:00.000-08:00

Przekrój osiowy stożka ma obwód 30 cm. Czy można tak dobrać wymiary aby pole jego powierzchni bocznej było największe?

Dane: obw=30cm Szukane: r i l przy których pole pow. bocznej jest największe >Zróbmy krótki komentarz przed rozwiązaniem zadania. W poleceniu do tego zadania ważne jest pytanie "czy można tak dobrać..?" Właśnie to pytanie jest tu najważniejsze i skupimy sie nie wyniku liczbowym lecz na tym czy w praktyce można wykonać dokładnie to co jest w poleceniu czyli odpowiemy dosłownie na to pytanie. Do dzieła

Stożek-co to takiego?

2008-02-03T08:11:00.002-08:00

Stożek(dawniej Konus) to bryła wypukła powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych. Przyprostokątna ta tworzy wysokość (h) stożka, druga przyprostokątna staje się promieniem podstawy (r) zaś przeciwprostokątna – tworzącą stożka (l).

Rysowanie stożka w programie C.a.R

2008-02-03T08:11:00.001-08:00

Filmik poniżej przedstawia tworzenie prostego stożka w programie C.a.R.

Analiza stożka

2008-02-03T08:10:00.002-08:00

W stożku wyróżniamy pole podstawy, pole boczne promień podstawy oraz tworzącą stożka
Siatka pola powierzchni stożka W zadaniu zajmiemy się głównie polem bocznym stożka ale w końcowych rozważaniach wrócimy do podstawy a właściwe do średnicy podstawy.

Wyznaczanie wzoru na pole boczne stożka

2008-02-03T08:10:00.001-08:00

Wzór opisujący pole powierzchni bocznej w stożku:

Pb(r,l)=π*r*l

Jak widać ze wzoru pole boczne stożka zależy od dwóch zmiennych: promiania podstawy (r) i tworzące stożka (l)co uniemożliwia rozwiązanie zadania. Należy powiązać ze sobą promień podstawy i tworzącą stożka. W treści jest podane że przekrój osiowy stożka ma obwód 30cm. Wykorzystując to stwierdzamy ze:

2r+2l=30

a stąd:
r+l=15

i w końcu:
r=15-l

Wpisując do podstawowego wzoru na pole powierzchni bocznej w miejsce promienia wartość wyliczoną z zależności obwodu przekroju osiowego (r=15-l) otrzymamy wzór zależny tylko od jednej zmiennej (l):

Pb(l)=π*(15-l)*l

Mnożymy wszystko:
Pb(l)=15πl-πl²

Zmienimy kolejność dla łatwiejszego wykonania kolejnej operacji:
Pb(l)=-πl²+15πl

Wyciągamy przed nawias aby móc określić miejsca zerowe:
Pb(l)=-πl*(l-15)

Tabelka z danymi i wykresem w Excelu

W przypadku rozwiązywania zadania na kartce bez pomocy komputera pomocne nam będą miejsca zerowe tej funkcji kwadratowej. Miejsca zerowe to takie wartosci które po wstawieniu w miejsce zmiennej dają wynik 0 W tym wypadku będą to:
l₁=0
l₂=15

Analiza wykresu

2008-02-03T08:09:00.001-08:00

Wykres funkcji narysowany w programie Winplot Os x jest to długość tworzącej stożka. Os y jest to pole powierzchni bocznej. Wykres przedstawia zależność pola powierzchni od długości tworzącej stożka.
W poleceniu było pytanie o największe pole boczne. Jak widać na wykresie pole to jest największe przy wartości tworzącej dokładnie pomiędzy miejscami zerowymi a wiec pomiędzy 0 i 15cm. Są dwa sposoby obliczenia tej wartości:

1.Pierwszym sposobem jest obliczenie średniej arytmetycznej dwóch miejsc zerowych
l₀=(l₁+l₂)/2=(0+15)/2=15/2=7,5

2.Drugim sposobem jest skorzystanie ze wzoru na wartość na osi x wierzchołka wykresu funkcji. W tym celu wypisujemy współczynniki a, b, c funkcji. Funkcja kwadratowa ma wzór ogólny:

F(x)=ax²+bx+c.

W przypadku rozpatrywanego wzoru na pole boczne stożka współczynniki wynoszą:
a=-π b=15π c=0

Wzór na wartość na osi x wierzchołka wykresu:
x_w=-b/2a

W naszym wypadku to:
l₀=-15π/-2π=-15/-2=7,5

Wartość tworzącej stożka mamy wliczoną i wynosi ona 7,5cm Teraz wracając do zależności z obwodu przekroju osiowego możemy obliczyć promień podstawy.Korzystamy z uproszczonego już wzoru:
r=15-l r=15-7,5=7,5cm

Rysowanie wykresu funkcji

2008-02-03T08:08:00.002-08:00

Filmik przedstawia wykonanie wykresu w trzech programach:C.a.R, Winplot oraz Excel

Wyznaczanie dziedziny

2008-02-03T08:08:00.001-08:00

Mamy teraz jak by się wydawało wynik zadania ALE ( i tutaj jest właśnie to ale) musimy jeszcze obliczyć dziedzinę funkcji i zbadać czy nasze rozwiązanie mieści się w dziedzinie tej funkcji. W tym celu badamy kolejne warunki jakie musi spełniać nasza zmienna l a więc długość tworzącej stożka:

1.Musi być większa od zera
l>0

2.Wartość promienia powiązana wzorem zwartością tworzącej musi być większa od zera:
r>0 15-l>0 l< l5

3.Trzeci i najistotniejszy w tym zadaniu warunek a więc tworząca l musi być większa od promienia r. Jest to związane z tym iż taki trójkąt będący przekrojem osiowym nie mógł by istnieć W każdym trójkącie suma długości dwóch sąsiednich boków musi być dłuższa od długość trzeciego boku a w tym przypadku wychodzi że wartości te są równe bo l+l=7,5+7,5=15=r
Więc zapisując powyższy problem:
l>r l>15-l 2l>15 l>7,5.

Zapisując kolejne rozważania na temat dziedziny otrzymujemy trzy nierówności które opisują nam dziedzinę:

l>0
l<15
l>7,5

Dziedzina:
D=(7,5;15)
Wykres z zaznaczoną dziedziną:

Przekrój osiowy z zadania w praktyce

2008-02-03T08:07:00.003-08:00

Komentarz

2008-02-03T08:07:00.001-08:00

Teraz najważniejsze końcowe rozważania. Z obliczeń wyszedł wynik że największe pole powierzchni bocznej jest przy tworzącej stożka o długości 7,5cm Jednak z wykresu z zaznaczoną dziedziną wartość ta jest poza dziedziną która "dochodzi" do wartości 7,5 lecz jej nie obejmuje. Jak już wspomniano wcześniej przy takich wymiarach (l=7,5 r=7,5) stożek był by plaski więc właściwie nie był by stożkiem lecz płaskim kołem. Największe pole powierzchni bocznej jest przy wymiarze tworzącej l minimalnie większym (obejmującym już dziedzinę lecz nie będący wartością 7,5cm) niż 7,5cm jednak nie da się tego matematycznie obliczyć. Teoretyczne jest to wartość większa ale nie równa 7,5cm która praktycznie nie istnieje i nie da się jej określić.

Odpowiedź

2008-02-03T08:06:00.001-08:00

ODP: Nieda się tak dobrać wymiarów stożka o przekroju osiowym o obwodzie 30cm aby jego pole powierzchni bocznej bylo największe.

Walec

2007-01-25T11:31:00.000-08:00

Podaj wzór funkcji opisującej pole powierzchni całkowitej walca, jeśli jego przekrój osiowy jest kwadratem o przekątnej sqtr(2).

Przekrój osiowy walca

Siatka pola powierzchni walca

Dokonujemy obliczeń pola powierzchni całkowitej walca:

Wykres funkcji narysowany w programie Winplot